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2019届高考数学一轮复*第二章基本初等函数导数的应用第9讲函数模型及其应用课件文

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第二章 基本初等函数、导数的应用 第9讲 函数模型及其应用 常见函数模型 (1)直线模型:即一次函数模型,其增长特点是直线上升(x 的 系数 k>0),通过图象可以很直观地认识它. (2)指数函数模型:能用指数函数表达的函数模型,其增长特 点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越 快 __________ (a>1),常形象地称之为“指数爆炸”. (3)对数函数模型:能用对数函数表达式表达的函数模型,其 快 增长的特点是开始阶段增长得较__________ (a>1),但随着 x 慢 的逐渐增大,其函数值的变化越来越__________ ,常称之为 “蜗牛式增长”. (4)幂函数模型:能用幂函数表达的函数模型,其增长情况随 xα 中 α 的取值变化而定,常见的有二次函数模型. a (5)“对勾”函数模型:形如 f(x)=x+ (a>0,x>0)的函数模 x 型, 在现实生活中也有着广泛的应用, 常利用“基本不等式” 解决,有时利用函数的单调性求解最值. 1. 某种储蓄按复利计算利息, 若本金为 a 元, 每期利率为 r, 存期是 x,本利和(本金加利息)为 y 元,则本利和 y 随存期 x x y = a (1 + r ) 变化的函数关系式是_________________. [解析] 由指数函数模型得 y=a(1+r)x. 2.某物体一天中的温度 T(单位:℃)是时间 t(单位:h)的函 数:T(t)=t3-3t+60,t=0 表示中午 12:00,其后 t 取正值, 78 ℃ . 则下午 3 时的温度为________ [解析] T(3)=33-3×3+60=78(℃). 3.A,B 两城相距 100 km,在两城之间距 A 城 x(km)处建一 核电站给 A,B 两城供电,A、B 城与核电站共线,为保证城 市安全,核电站距城市距离不得小于 10 km.已知 A、B 城月 供电费用分别等于供电距离(km)的*方与月供电量 (亿度)之 积的 0.25 倍,若 A 城供电量为每月 20 亿度,B 城为每月 10 亿度. (1)求 x 的取值范围; (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数; (3)核电站建在距 A 城多远,才能使供电总费用 y 最少? [解] (1)x 的取值范围为[10,90]. 5 (2)y=5x + (100-x)2(10≤x≤90). 2 2 5 15 2 2 (3)由 y=5x + (100-x) = x -500x+25 000 2 2 2 15? 100?2 50 000 100 50 000 x - = ? 3 ? + 3 ,得 x= 3 时,ymin= 3 , 2 100 即核电站建在距 A 城 km 处,能使供电总费用 y 最少. 3 1.必明辨的 1 个易错点 解决实际问题忽视定义域. 2.必会的 1 种方法 解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步 选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符 号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下: 1.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方 案,在销售额 x 为 8 万元时,奖励 1 万元.销售额 x 为 64 万元时,奖励 4 万元.若公司拟定的奖励模型为 y=alog4x 1 024 +b.某业务员要得到 8 万元奖励, 则他的销售额应为________ 万元. ? ?alog48+b=1 [解析] 依题意得? , ? ?alog464+b=4 3 ? ?2a+b=1, 即? 解得 a=2,b=-2. ? ?3a+b=4. 所以 y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8. x=1 024(万元). 2.某养殖场需定期购买饲料,已知该场每天需要饲料 200 千克,每千克饲料的价格为 1.8 元,饲料的保管费与其他费 用*均每千克每天 0.03 元, 购买饲料每次支付运费 300 元. 求 该场多少天购买一次饲料才能使*均每天支付的总费用最 少. [解] 设该场 x(x ∈N*)天购买一次饲料*均每天支付的总费 用最少,*均每天支付的总费用为 y1. 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 200×0.03= 6(元), 所以 x 天饲料的保管费与其他费用共是 6(x-1)+6(x-2)+…+6=(3x2-3x)(元). 1 300 2 从 而 有 y1 = (3x - 3x + 300) + 200×1.8 = + 3x + x x 300 357≥417,当且仅当 =3x,即 x=10 时,y1 有最小值. x 故该养殖场 10 天购买一次饲料才能使*均每天支付的总费 用最少. 一次函数、二次函数模型 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部 门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转 化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少 为 400 吨, 最多为 600 吨, 月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨) 1 2 之间的函数关系可*似地表示为: y= x -200x+80 000, 且 2 每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元.该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果 不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损? 【解】 设该单位每月获利为 S, 则 S=100x-y 1 2 ? =100x-?2x -200x+80 000? ? 1 2 =- x +300x-80 000 2 1 =- (x-300)2-35 000, 2 因为 400≤x≤600, 所以当 x=400 时,S 有最大值-40 000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40


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