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2019版三维方案数学同步人教A版必修3第三章 3.3 3.3.1& 3.3.2 几何概型 均匀随机数的产生


几 何 概 型 3.3.1& 3.3.2 几何概型 均匀随机数的产生 预习课本 P135~140,思考并完成以下问题 (1)什么是几何概型? (2)几何概型的两大特点是什么? (3)几何概型的概率计算公式是什么? (4)均匀随机数的含义是什么?它的主要作用有哪些? [新知初探] 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果有无限多个. (2)每个结果出现的可能性相等. 3.几何概型概率公式 在几何概型中,事件 A 的概率的计算公式为: P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? 构成事件A的区域长度?面积或体积? 4.均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是 RAND 函数. (2)Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand(_)”. 5.用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1)试验模拟的方法:制作两个转盘模型,进行模拟试验,并统计试验结果. (2)计算机模拟的方法:用 Excel 的软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟.注意操作 步骤. [小试身手] 1.一个靶子如右图所示,随机地掷一个飞镖扎在靶子上,假设飞镖既 不会落在靶心,也不会落在阴影部分与空白的交线上,现随机向靶掷飞镖 30 次,则飞镖落在阴影部分的次数约为( A.5 C.15 ) B.10 D.20 60° 解析:选 A 阴影部分对应的圆心角度数和为 60°,所以飞镖落在阴影内的概率为 360° 1 1 = ,飞镖落在阴影内的次数约为 30× =5. 6 6 2.已知集合 M={x|-2≤x≤6},N={x|0≤2-x≤1},在集合 M 中任取一个元素 x,则 x∈M∩N 的概率是( 1 A. 9 1 B. 8 ) 1 C. 4 3 D. 8 解析:选 B 因为 N={x|0≤2-x≤1}={x|1≤x≤2},又 M={x|-2≤x≤6},所以 M∩N 2-1 1 ={x|1≤x≤2},所以所求的概率为 = . 6+2 8 3.如图所示, 半径为 4 的圆中有一个小狗图案, 在圆中随机撒一粒豆子, 1 它落在小狗图案内的概率是 ,则小狗图案的面积是( 3 π A. 3 8π C. 3 4π B. 3 16π D. 3 ) 解析:选 D 设小狗图案的面积为 S1,圆的面积 S=π×42=16π,由几何概型的计算公 S1 1 16π 式得 = ,得 S1= .故选 D. S 3 3 4.在区间[-1,1]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为________. 1-0 1 解析:根据几何概型的概率的计算公式,可得所求概率为 = . 1-?-1? 2 答案: 1 2 与长度有关的几何概型 [典例] (1)(2016· 全国卷Ⅰ)某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( 1 A. 3 2 C. 3 ) 1 B. 2 3 D. 4 (2)在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则|x|≤1 的概率为________. [解析] (1)如图,7:50 至 8:30 之间的时间长度为 40 分钟,而小明等车时间不超过 10 分钟是指小明在 7: 50 至 8:00 之间或 8:20 至 8:30 之间到达发车站,此两种情况下的时间长度之和为 20 分 20 1 钟,由几何概型概率公式知所求概率为 P= = .故选 B. 40 2 (2)∵区间[-1,2]的长度为 3,由|x|≤1,得 x∈[-1,1],而区间[-1,1]的长度为 2,x 取每 2 个值为随机的,∴在[-1,2]上取一个数 x,|x|≤1 的概率 P= . 3 [答案] (1)B 2 (2) 3 1.解几何概型概率问题的一般步骤 (1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性); (2)把基本事件转化为与之对应的区域 D; (3)把所求随机事件 A 转化为与之对应的区域 I; (4)利用概率公式计算. 2.与长度有关的几何概型问题的计算公式 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的计算公式为: P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度 构成事件A的区域长度 [活学活用] 一个路口的红灯亮的时间为 30 秒,黄灯亮的时间为 5 秒,绿灯亮的时间为 40 秒,当你 到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少? (1)红灯亮; (2)黄灯亮; (3)不是红灯亮. 解:在 75 秒内,每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的,属于几何概型. 红灯亮的时间 30 2 (1)P= = = . 全部时间 30+40+5 5 黄灯亮的时间 5 1 (2)P= = = . 75 15 全部时间 不是红灯亮的时间 黄灯亮或绿灯亮的时间 45 3 (3)法一:P= = = = . 75 5 全部时间 全部时间 2 3 法二:P=1-P(红灯亮)=1- = . 5 5 与面积和体积有关的几何概型 [典例] (1)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标 x+1,x≥0, ? ? 为(1,0), 且点 C 与点 D 在函数 f(x)=? 1 的图象上. 若 - x+1,x<0 ? 2 ? 在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于( 1 A. 6 3 C. 8 1 B. 4 1 D. 2 ) (2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆 柱内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________. [解析] (1)依题意得,点 C 的坐标为(1,2),所以点 D 的坐标为(-2,2


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